2020-03-24 18:17:57

原来勾股定理可以这样证!

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作者: MatheMagician 来源: MatheMagician 1

下面这个证明可能算不上漂亮,但它的身世很有趣,因为它并非出自数学家之手,相反,提出它的人干的是可能最世俗、离象牙塔最远的工作——他是个政客。这是第十二任美国总统加菲尔德1863年发表在一份期刊上的勾股定理的梯形证明:

直角三角形ABC与三角形BDE全等,将它们如图平放,构成一个梯形AEDC。
因为两个直角三角形是平放的,C,B,D共线,所以 ∠CBD = 180°
而 ∠β + ∠EBD = ∠β + ∠α = 90°, 可知∠ABE = 90°
梯形面积 = 三个三角形面积相加
1/2 <> (a+b)^2 = 1/2 c^2 + 1/2 <>ab + 1/2 ab
化简得 a^2 + b^2 = c^2

至于漂亮的证明,如果说简洁就是美的话,那么越简洁的证明越美,无言的证明就是最美的。下面这个证明接近于无言:

用四个阴影三角形拼成一个新正方形(右)后,新正方形面积与左边的原正方形相等, a^2 + b^2 = c^2 一目了然。

2

勾股定理的达芬奇证明:

3欧几里德的证明:

  1. 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。
  2. 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
  3. 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
  4. 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。
  5. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。
  6. ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。
  7. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。
  8. 因为 A 与 K 和 L在同一直线上,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
  9. 因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
  10. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。
  11. 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。
  12. 把这两个结果相加, AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
  13. 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
  14. 由于CBDE是个正方形,因此AB² + AC² = BC²。

4

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”,即“弦图”,按其证明思路,其法可涵盖所有直角三角形,为东方特色勾股定理无字证明法

5最简单的:
复杂一点的:再复杂一点的:

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